莆田学院数学系2002级,福建莆田归纳行列式的计算方法

(莆田学院数学系2002级,福建莆田) 摘要:总结行列式的各种计算方法,并举例说明其应用,同时推广一些特例。 关键词:行列式; 范德蒙行列式; 矩阵; 特色种植; 拉普拉斯定理; 阶乘法; 辅助行列式法 行列式的计算比较灵活,需要很强的技巧。 当然,任何顺序行列式都可以通过其定义来计算其值。 但是从定义可以看出,n阶行列式的展开有n! 项,计算量很大。 一般不采用这种方法,但如果行列式中零元素较多,可以考虑采用这种方法。 值得注意的是,应用定义法求非零元素乘积时,不一定从第一行开始,以非零元素最少的那一行为准。 下面介绍两种最基本的行列式计算方法——三角剖分法和行(列)展开法。 三角化法 三角化法是将原始行列式计算为上(下)三角行列式或对角行列式的方法。 这是计算行列式的基本方法的重要方法之一。 因为行列式的定义是为了方便得到上(下)三角行列式或对角行列式的性质,所以将行列式转化为三角行列式进行计算。 原则上,每个行列式都可以利用行列式的性质转化为三角行列式。 但是对于高阶的行列式,一般来说,计算往往比较复杂。 因此,在很多情况下,总是将行列式的性质作为保值变换,进而转化为三角行列式。 1:浙江大学2004年硕士研究生入学考试第1子题2(重庆大学2004年硕士研究生入学考试第3大题,子题1)答案中需要计算下列行列式的值:【分析】显然,如果直接转化为三角行列式,计算非常复杂,所以要充分利用行列式的性质。

请注意,从第 1 列开始; 每列与其列中的 n-1 个数字之间有 1 的差异。 根据行列式的性质,先从第n-1列乘以-1加到第n-2列再乘以-1加到第n-1列,直到第1列乘以-1加到第2列.然后把第一行乘以-1加到每一行,再转换成三角行列式,计算就简单多了。 这里使用了cossin:与单位根不同的AwAwAwAw 方阵由上可知:很明显是Vandermonde行列式,循环的方向与延拓的方向相反,所以例1=(-1)所以when (对于单位 根总是有: thus: (-1)(-1) 答案是一致的 方法2 展开行(列)(归约法)njnj 其中元素ij在ij中的代数余数展开按行(列)的方法可以将一个n阶行列式转化为n个n-1阶行列式进行计算,如果继续使用行(列)展开的方法,可以将n阶行列式化简,直到计算成许多2阶行列式,这是计算行列式的另一种基本方法。但一般情况下,按行(列)展开并不能减少计算量。只有当行列式中的一行(列)包含更多的零元素时,它才能发挥作用因此,在应用行(列)展开法时,应利用行列式的性质,将某一行(列)转化为更多的零元素,再按行(列)展开。 例2,计算20阶行列式181920171819161718201918 【分析】这个行列式没有零元素。 如果直接应用行(列)展开的方法逐次降阶,直到可以计算出很多二阶行列式,需要进行20!*20-1次加法这个人根本做不完减法和乘法,更别提了脚步。

但是,如果利用行列式的性质,将其减少为具有多个零元素,则可以非常快速地计算出结果。 注意这个行列式的相邻两列(行)对应的元素只相差1,所以可以用下面的方法计算 202020)19)181920171819161718192019182120 以上是计算行列式的两种最基本的方法,和下面的一些方法,不管是什么方法,都要结合行列式的性质和基本方法。 以下是常用的方法: 方法三 递归法 应用行列式的性质,将一个n阶行列式表示为具有相同性质的低阶行列式(如n-1n-2阶等)的线性关系structure ,这种关系称为递归关系。 根据递归关系和低阶初始行列式(如二阶或一阶行列式)的值,可以递归计算阶行列式的值。 这种计算行列式的方法称为递归法。 [注意] 使用该方法时,必须检查行列式是否具有相同的低阶结构。 如果不是,则很难找到递归关系,所以不能使用这种方法。 例3 2003年福州大学研究生入学考试第二大题第10题须证明如下行列式方程: 证明: 其中(虽然是证明题,我们可以直接求其值,从而证明.) 【解析】这个行列式的特点是:除了主对角线及其上下对角线的元素外,其余元素全为零。 这种行列式称为“三对角”行列式。 从行列式的左上角向右下角看,我们知道Dn-1和Dn的结构是一样的。

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因此,可以考虑使用递归关系式来计算。 证明:展开Dn列,然后根据第一行展开展开后第二项中的n-1阶行列式: 这就是Dn的递归关系式,用Dn-1Dn-2表示。 如果上面的递归关系是从低阶开始递归的话,计算会比较复杂,注意上面的递归关系是用一个n-1n-2阶的行列式表示的【点评】虽然从一个行列式可以看出有同样的底层结构,然后得到一个递归关系式,但是我们不能盲目替换,要看这个递归关系式能不能简化我们的计算,如果不能,就要适当改变递归关系式 关系式,比如作为这个问题。 方法 加边法(升序法) 有时为了计算行列式,特意在原来的行列式上加一行加一列,然后再计算。 这种计算行列式的方法称为加边法或升序法。 当然加边后的值一定要保留,得到的高阶行列式应该更容易计算。 增加的行和列要根据需要和原行列式的特点来选择。 加法适用于字母相同的行(列),也适用于其列(行)的元素为n-1个元素的倍数时。 一般添加边框的方法是: 当然,添加不仅仅是添加一行和一列。 那么什么时候可以应用加法呢? 关键是观察每行或每列是否具有相同的因子。 题目如下: 4.计算n阶行列式: 【解析】我们先把主对角线的个数减1,这样可以清楚的看到第一行乘以x,…,和第 n 行是 x 的相位。 这样,我们就知道行列式的每一行都有相同的因子x。 利用行列式的性质,将大部分元素化为零,进而化为三角行列式,从而达到简化计算的效果。

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从行列式除法的性质可知该方法。 将已知的行列式分解为若干行列式的乘积,计算其值,得到原行列式值。 这种方法称为行(列)法。 从行列式的性质来看,如果行列式的某一行(列)的元素是两个数之和,则行列式可以拆分为两个行列式的和,以及某行(列)的两个行列式)取这两个数中的一个作为行(列)的元素,其他行(列)的元素与原行列式对应的行(列)相同。 利用行列式的这一性质,有时更容易获得行列式的值。 南开大学2004年考研第1题要求如下行列式的取值: order determinant: 11122122ijji order determinant 111221221112111221222122111221221112212211122122 数学归纳法一般采用不完全归纳求行列式的猜测值,然后用数学 猜想的证明是归纳法给出。 因此,一般采用数学归纳法来证明行列式相等。 因为给定一个行列式,猜测它的值比较困难,所以先给出它的值,然后再证明。 (数学归纳的步骤大家都很熟悉,这里不再赘述)。 证明:2cos2cossin2cos2cossin 的结论显然成立。 现在假设结论对于小于或等于为真。 即: sinsin2cos2cossin(2cossin2cossins(sin2cos sin cos co sinsin sin cos cos sin sin sin( 下面介绍一些特殊的行列式计算方法,但是很实用。

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方法如果行列式D中的某些元素是变量x(或参数变量)的多项式,则行列式D可以看成是一个多项式f(x),然后对行列式进行一些变换得到f( x的互素数的一次因子)使得这些因子的乘积g(x)只相差一个常数因子C。根据多项式等式的定义,比较f(x)和f(x)的某一项的系数g(x) ,得到C的值,则可以得到D=Cg(x)。 什么情况下可以使用? 它取决于行列式中的两行(包括变量 x)。 如果x等于某个数a,则两行相同。 根据行列式的性质,D=0。 然后是一个一阶因子,再求其他不同的数使D=0,也就是得到一个和D同阶的互质一阶因子,就可以用这个方法了。 兰州大学2004年招收硕士研究生试题是第四大题(1)分题。 需要以下行列式的值。 [分析] 根据行列式的特点,当。 但是仔细一看,行列式n+1是一个n+1次的多项式,而此时我们只是找出从头到第n+1列的那一列加到第一个[点评]这道题明明用阶乘的方法最方便,但是不要盲目的找它等于0,只能有n个数才能使它等于0,而行列式是n+1阶是n +1次多项式,所以我们想到的是利用行列式的性质,把行列式的次数减一次,这样原来的n+1次多项式就变成了一个n次多项式和一个次次多项式的乘积名词

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然后就可以得到它的值。 你需要知道如何适应一切。 不可能用一种方法立即解决问题。 在因式分解中,对于一个n次多项式,你最多可以找到一个r次多项式和一个r次多项式的乘积。 但一般情况下,当找出行列式为零的次数与行列式出现的次数相差太大时,不采用这种方法。 方法。 辅助行列式法 辅助行列式法的应用条件:行列式各行(列)之和相等,除对角线外其他元素相同。 解题过程: 1) 给行列式D的每个元素加上相同的元素x,使新行列式除主对角线外的所有元素都为0; 2)计算。 2004年大连理工大学硕士研究生入学考试“高等代数”试题,第一大题填空,第二小题要求下列n阶行列式的取值。 【点评】如果你知道辅助行列式法的解题过程,你可以很容易地用这个方法解决这个问题。 但是根据行列式的特点,我们也可以采用加边的方法,将大部分元素归零,然后化成三角行列式,就可以轻松求解行列式了。 下面的方法都是用到公式,所以有的方法这里简单给出其应用,大家只要记住公式并应用即可。 方法使用拉普拉斯定理 拉普拉斯定理的四种特殊情况: nnnn mm mn mm nnnm nn mm mm nnmn nn mm mm mn nmnn mn nn mm mm 要计算 n 阶的行列式: 使用拉普拉斯定理 方法 10.使用范德蒙行列式 范德蒙行列式: 10 计算n阶行列式解: 显然这道题和Vandermonde行列式很像,但还是有区别的,所以先利用行列式的性质,转换成Vandermonde行列式的类型。

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先将第n行与第n-1行、第n-2行与第n-1行、第n-2行互换,如此反复直到最后将第n行与第n-1行互换,就这样,经过一共(n-1)+(n-2)+?+2+1=n(n-1)/2行交换,利用矩阵行列式引理可以得到方法11:设A是一个n阶单位矩阵,则证明det(引理。例11.2003年全国硕士研究生入学考试数学试卷3第9题答案中,需要计算如下行列式。方法12利用方阵特征值和行列式的关系。通过特征值的定义也可以得到的特征值。【点评】这道题的行列式比较特殊,可以用这种方法。对于其他行列式,一般不用这种方法适用,此处给出此方法仅供参考。在问题11的归纳中,主对角线上的元素与例11中的答案一致。上面一共给出了12种计算行列式的方法,其中一些常见的有的是最基本的方法,有的是比较特殊但是很实用的方法。 课外书上还有其他的方法,如:极限法、代入法、导数法、差分法、积分法等,但这些方法用处不大,就不一一介绍了。 我想只要了解并掌握以上12种方法,不管是哪种行列式计算,都可以轻松解决。 而有时候一个问题需要通过多种方案来解决,或者一个问题可以单独通过多种方法来解决,就看大家灵活运用的程度,是否找出最便捷的方法来解决它的价值。

参考资料:《高等代数复习解题方法与技巧》高等教育出版社2005《高等代数》清华大学出版社2000《高等代数复习与研究》南海出版社1995《高等代数》高等教育出版社1993《高等代数》代数解题方法》清华大学出版社2001年北京大学数学系《高等代数》高等教育出版社1988年李永乐《考研用线性代数》北京大学出版社2000年《数学II高考真题系列》东北大学出版社2004.3《精讲辅导与题》 -考研数学解题指南,西北工业大学出版社,1999.5 10.历届各高校考研试卷

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